قانون مساحة الأسطوانة وحساب حجم الأسطوانة
يقدم لكم موقع أراجيك قانون مساحة الأسطوانة وكيفية حساب حجم الاسطوانة عبر عدة خطوات مهمة وسهلة للغاية من أجل حساب حجم الاسطوانه.
حيث يبحث الكثير من طلاب الرياضيات عن طريقة أو قانون حجم الأسطوانة وطريقة حساب حجم الاسطوانه لما يجده من صعوبة كبيرة فقط تابع الشرح وستتعرف كل ما يخص مساحة الأسطوانة وحجمها.
ما هي الأسطوانة
الأسطوانة عبارة عن جسم ثلاثي الأبعاد له قاعدتان دائريتان متقابلتان ومتطابقتان ، وتدور الأسطوانة بالكامل نتيجة التفاف المستطيل حول أحد أضلاعه.
تحتوي الأسطوانة على مجموعة من السمات التي تميزها عن الأشكال الهندسية الأخرى ، ومن هذه الميزات وجود قاعدة مسطحة ، والقاعدة تشبه الجزء العلوي. أي أن القاعدة العلوية والسفلية متماثلة ، والأسطوانة لها جانب واحد ، لكنها منحنية.
حساب مساحة الأسطوانة الجانبية والكلية
تحتوي الأسطوانة على شكل رباعي منحني ، نظرًا لأن هذا الشكل الرباعي يمثل جانبين من الأسطوانة بعيدًا عن القاعدتين ، كل منهما يشكل دائرة ، وبالتالي فإن المساحة الكلية للأسطوانة تساوي مجموع مساحة القاعدتين على جانبها. .
تمثل المساحة الشفافة للأسطوانة حاصل ضرب محيط الدائرة بارتفاع الأسطوانة ، أي 2 x π x نصف القطر x ارتفاع أسطوانتين، أما بالنسبة لحساب مساحة كل قاعدة من قاعدتي الأسطوانة لوحدها فذلك عن طريق قانون مساحة الدائرة وهي: مساحة الدائرة=π× (نصف القطر).
- المساحة الكلية للأسطوانة=المساحة الجانبية+مجموع مساحة القاعدتين.
- المساحة الجانبية=محيط الدائرة×ارتفاع الأسطوانة.
- المساحة الجانبية = 2×نق×π×ع.
- مساحة القاعدة الواحدة =π× (نق)².
- المساحة الكلية للأسطوانة =(2 نقπ ع)+(2 نق² π).
- وبإخراج العوامل المشتركة تُصبح:
- المساحة الكلية للأسطوانة = 2× نق× π (ع+نق).
حساب المساحة الكلية والجانبية للأسطوانة
مثال1: جد المساحة الجانبية والكلية لأسطوانة دائرية قائمة، إذا علمت أن نصف قطر قاعدتها الدائرية يساوي 7 م، أما ارتفاعها فيساوي 10م.
الحل:
المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية +مجموع مساحة القاعدتين.
المساحة الجانبية = 2×نق×π×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع= 10، ونق=7، في القانون، تُصبح:
المساحة الجانبية = 2×7×π×10.
المساحة الجانبية للأسطوانة = 140 π م².
مساحة القاعدتين = 2×مساحة القاعدة الواحدة.
مساحة القاعدتين = 2× نق²×π.
مساحة القاعدتين = 2×7×7×π.
مساحة القاعدتين = 98 π م².
المساحة الكلية للأسطوانة = 140 π 98 +π
إذن: المساحة الكلية للأسطوانة = 238 πم².
اقرأ أيضاً:مواقع حل مسائل الرياضيات لجميع المراحل
مثال2: جد المساحة الجانبية والكلية لأسطوانة دائرية قائمة، إذا علمت أن نصف قطر قاعدتها الدائرية يساوي4 دسم، أما ارتفاعها فيساوي 12دسم.
الحل:
المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية +مجموع مساحة القاعدتين.
المساحة الجانبية = 2×نق×π×ع.
وبتعويض قيمة الإرتفاع= 12، ونق=4، في القانون، تُصبح:
المساحة الجانبية = 2×4×π×12.
المساحة الجانبية للأسطوانة = 96 π دسم².
مساحة القاعدتين= 2×مساحة القاعدة الواحدة.
مساحة القاعدتين = 2× نق²×π.
مساحة القاعدتين = 2×4×4×π.
مساحة القاعدتين = 32 π دسم².
المساحة الكلية للأسطوانة = 96 π 32 +π.
إذن: المساحة الكلية للأسطوانة = 128 π دسم².
حساب حجم الأسطوانة
يُمكن حساب حجم أي أسطوانة من خلال ضرب مساحة قاعدتها في الإرتفاع، وبما أنّ القاعدة على شكل دائرة، فإنّ مساحة قاعدة الأسطوانة هي نفسها مساحة الدائرة، والتي هي: مساحة الدائرة= π× (نصف القطر)²، وعليه فإنّ حجم الأسطوانة يساوي:
- (حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة).
- مساحة قاعدة الأسطوانة = مساحة الدائرة.
- مساحة قاعدة الأسطوانة = π× (نصف القطر)².
- حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تمارين وحلول حساب حجم الأسطوانة
مثال1: جد حجم أسطوانة، إذا علمت أنّ نصف قطر قاعدة الأسطوانة يساوي 14 سم، وارتفاعها يساوي 10 سم.
الحل:
حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الإرتفاع ونصف القطر في القانون.
حجم الأسطوانة= 14² ×10 π
إذن: حجم الأسطوانة = π1960 سم³، الحجم بدلالة باي.
مثال2: جد ارتفاع أسطوانة، إذا علمت أن سعتها 24640 سم³، وطول نصف قطر قاعدتها يساوي 7سم.
الحل:
حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تُعوض قيمة الحجم ونصف القطر في القانون.
24640= 7²×π×ع.
24640= 49π×ع، (وبقسمة طرفي المعادلة على 49π ، باستخدام الألة الحاسبة).
تصبح قيمة الإرتفاع تساوي160 سم، تقريباً.
مثال3: أنبوب معدني أسطواني الشكل مفرغ من الداخل، إذا علمت أن ارتفاعه يساوي 15م، وقطر الأسطوانة الخارجية الأكبر يساوي8 م، وقطر الأسطوانة الداخلية الأصغر يساوي6م، احسب حجم المادة التي صنع منها الأنبوب المعدني.
الحل:
أولاً: يتم إيجاد حجم الأسطوانة الخارجية:
حجم الأسطوانة الخارجية= مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة الخارجية = π×4²×15.
حجم الأسطوانة الخارجية = π×16×15.
حجم الأسطوانة الخارجية=π240م³.
ثانياً: يتم إيجاد حجم الأسطوانة الداخلية:
حجم الأسطوانة الداخلية= مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×3²×15.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×9×15.
حجم الأسطوانة الداخلية=π135م³.
ثالثاً: يتم إيجاد حجم المادة المعدنية.
حجم المادة= حجم الأسطوانة الخارجية-حجم الأسطوانة الداخلية.
حجم المادة= π135-π240.
إذن حجم المادة=π105م³.
مثال4: وضِعَ موشور رباعي قائم قاعدته مربعة الشكل، طول ضلعها يساوي 7سم، داخل مجسم أسطواني دائري قائم، ارتفاعه يساوي 15سم، أما حجمه فيساوي900سم³، احسب المنطقة الفارغة التي تقع بين الأسطوانة والموشور، (داخل الأسطوانة وخارج الموشور).
الحل:
أولاً: يتم إيجاد حجم الموشور:
حجم الموشور= مساحة قاعدة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم االموشور=7²×15.
حجم الموشور=735سم³.
ثانياً: يتم إيجاد حجم المنطقة الفارغة.
حجم المنطقة الفارغة= حجم الأسطوانة -حجم الموشورالداخلي.
حجم المنطقة الفارغة= 900-735.
إذن حجم المنطقة الفارغة=165سم³.
إن الأسطوانة لها قانون فريد من نوعه لذلك ستجد الكثير من التمارين التي تقوم بحل مساحة الأسطوانة وكذلك حجم مساحه الاسطوانة ومن خلال هذا المقال قمنا بشرح قانون حجم الأسطوانة وعليه قم بحل جميع تمارين الرياضيات بسهولة وبدقة كبيرة.
